Числено интегриране

В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.

Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. $f(x)=\varphi (x)+r(x)$, където:

• $\varphi (x)$ може да се интегрира точно
• $r(x)$ e остатъка (грешката - residual)

Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала $[a,b]$ за $f(x)$.

Числените методи за интегриране се налага да се използват:

• Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции)
• когато примитивната функция за f(x) е много сложен израз

Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Представяме интеграла по следния начин: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\sum _{i=1}^n{A}_{i}f(x_i)+R(f)$.

Формули на Нютон-Коутс за числено интегриране

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{ln(x)}{x}dx,n=10$

Решение. По условие $[a,b]=[2,3];n=10$

Метод на правоъгълниците

$h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-2}{10}=0.1$

Метод на правоъгълниците

Съгласно $I\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}+\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}+...+\underset{x_{n-1}}{\overset{x_n}{\int }}=y_{0}h+y_{1}h+...+y_{n-1}h=h\sum _{i=0}^{n-1}{y}_i$

x = {2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3}

y = {0.346574, 0.353303, 0.35839, 0.362134, 0.364779, 0.366516,0.367504, 0.367871, 0.367721, 0.367142, 0.366204}.

$I\approx h\sum _{i=0}^{n-1}{y}_i=0.362193$

Аналитично решение

$\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{log(x)}{x}dx=1/2(lo{g}^2(3)-lo{g}^2(2))\approx 0.363248$

Решение с Матлаб

h = 0.1 % step
m = 0; % sum
for i = 2:h:3-h
m = log(i)/i + m
end
I = m*h
I =  0.36219

Оценка на грешката

Грешка от интегриране: $|r_0|\le \left|\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}{R}_{0}dx\right|\le M_1|\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}(x-x_0)dx|=M_1\frac{(x-x_0{)}^2}{2}{|}_{x_0}^{x_1}=M_1\frac{h^2}{2}=O(h^2)$

Сумарна грешка:

$R\le n*M_1\frac{h^2}{2}=M_1\frac{h(b-a)}{2}$

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

$M_1=\max {}_{[2,3]}|f^{\prime }(\xi )|$

$f=\frac{ln(x)}{x}$ за $f^{\prime }=\frac{1-ln(x)}{x^2}$

Максималната стойност в [2,3] на $f^{\prime }=\frac{1-ln(x)}{x^2}$ е при x = 2

$M_1=\frac{1-ln(2)}{2^2}=0.077$

$R=M_1\frac{h(b-a)}{2}=0.077*0.1/2=0.004$

Анализ

Разликата от аналитичното решение и численото решение е $0.3632-0.3621=0.0011$, което е в рамките на максималната грешка.

Формула на трапеца

Геометрично извеждане

Идеята на геометричното извеждане е да замести площта под кривата y = f(x) за x = a до х = b с площта на трапец ограничена от точките (a, 0), (b, 0), [a, f (a)], и [b, f (b)].

Метод на трапеца

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$

Правилото на трапеца няма как да е точно за големи интервали, но ако разглежданият интервал се раздели на по-малки интервали и се сумират техните стойности ще се получи сравнително точно заместване. Ако функцията f има втора производна то грешката от интегриране намалява с $h^2$, където h e големината на интеграла.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx h(\frac{f(x_0)}{2}+f(x_1)+\dots +f(x_{n-1})+\frac{f(x_n)}{2})$

Аналитично извеждане

$L_1(x)=y_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+y_0\frac{x-x_1}{x_1-x_0}<=>L_1(x)=y_0\frac{x-x_1}{h}+y_0\frac{x-x_1}{h}$

грешка на приближението $R_1(x)=\frac{f^{″}(\xi )}{2}(x-x_0)(x-x_1)$

$|R_1(x)|\le \frac{M_2}{2}|(x-x_0)(x-x_1)|$ , където

$M_2=\max {}_{[a,b]}|f^{″}(\xi )|$

$f(x)=L_1(x)+R_1(x)$

Интегрираме в интервала $[x_0,x_1],I=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}f(x)dx=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}{L}_1(x)dx+\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}{R}_1(x)dx$

$\begin{array}{r}I\approx \underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}{L}_1(x)dx=\\ & =\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}(y_0\frac{x-x_1}{-h}+y_1\frac{x-x_0}{h})dx\\ & =\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}{y}_0\frac{x-x_1}{-h}dx+\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}{y}_1\frac{x-x_0}{h}dx\\ & =\frac{y_0}{-h}\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}(x-x_1)dx+\frac{y_1}{h}\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}(x-x_0)dx\\ & =\frac{y_0}{-h}\frac{(x-x_1{)}^2}{2}{|}_{x_0}^{x_1}+\frac{y_1}{h}\frac{(x-x_0{)}^2}{2}{|}_{x_0}^{x_1}\\ & =h\frac{(y_0+y_1)}{2}\end{array}$

$|r_1|\le M_2\frac{h^3}{12}$

Формули

$I\approx h(\frac{y_0+y_n}{2}+\sum _{i=1}^{n-1}{y}_i)$

$|R(x)|\le n\frac{M_2}{2}\frac{h^3}{12}=M_2\frac{(b-a)}{12}{h}^2$

Решение

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{ln(x)}{x}dx,n=10$

h = 0.1;
sum = 0;
for i = 2+h:h:3-h
sum = log(i)/i + sum
end
sum = sum + (log(2)/2+log(3)/3)/2
I = sum*h
I =  0.36317

Формула на Симпсън

Анализ

Simpson’s Rule and Newton-Cotes Formulas

промери

теория

лекция