Числено интегриране

В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.

Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. $f(x)=\varphi (x)+r(x)$, където:

• $\varphi (x)$ може да се интегрира точно
• $r(x)$ e остатъка (грешката - residual)

Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала $[a,b]$ за $f(x)$.

Числените методи за интегриране се налага да се използват:

• Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции)
• когато примитивната функция за f(x) е много сложен израз

Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Тогава:

Друг подход е следният: Представяме интеграла по следния начин:

(1) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\sum _{i=1}^n{A}_{i}f(x_i)+R(f)$.

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{ln(x)}{x}dx,n=10$

Решение. По условие $[a,b]=[2,3];n=10$

...

$h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-2}{10}=0.1$

Съгласно $I\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}+\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}+...+\underset{x_{n-1}}{\overset{x_n}{\int }}=y_{0}h+y_{1}h+...+y_{n-1}h=h\sum _{i=0}^{n-1}{y}_i$

x = {2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3}

y = {0.346574, 0.353303, 0.35839, 0.362134, 0.364779, 0.366516,0.367504, 0.367871, 0.367721, 0.367142, 0.366204}.

$I\approx h\sum _{i=0}^{n-1}{y}_i=0.362193$

$\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{log(x)}{x}dx=1/2(lo{g}^2(3)-lo{g}^2(2))\approx 0.363248$