Махало

Движение на махало под въздействие на гравитацията

Цел: Създаване на връзки между диференциране и диференциални уравнения.

Постановка: Математическо махало. (Съпротивлението на въздуха се пренебрегва). Да се намери зависимостта на махалото спрямо времето, т.е. функцията на движение на махалато.

Анализ: Във всеки момент махалото се движи с различна скорост и ускорение, зависещи от ъгъла на отклонение на махалото.

Производни, разстояние, скорост и ускорение.

Движението на махалото се извършва по окръжност с радиус равен на дължината на нишката, на която е окачено махалото. От тук, следва че:

$s=\ell \theta$

За да изразим скоростта ползваме първата производна (изменението на разстоянието за единица време). Изменя се само ъгълът, а дължината на нишката е константа и се запазва:

$v=\frac{ds}{dt}=\frac{d\ell \theta }{dt}=\ell \frac{d\theta }{dt}$

По да изразим ускорението, използваме втората производна

$a=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}$ (1)

Сили действащи на махалото

Под внимание се взема само силата действаща по посока на движението. Допирателната по окръжността на движение (тангенциалната сила ( танго -> допир)). Перпендикулярната сила (нормалната ) се неутрализира.

От II закон на нютон $F=ma$

За махалото $F=gm\sin \theta =-ma=>a=-g\sin \theta$ (2)

Диференциално уравнение на махало

От (1) и (2) $=>-g\sin \theta =\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}<=>\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+g\sin \theta =0$

Решаване на диференциалното уравнение

Има два подхода при решаване на диференциални уравнения, аналитичен и числен. При конкретното уравнение са възможни и двата подхода, но аналитичният метод може да се използва за $\theta <20^{\circ }$. В този случай диференциалното уравнение ще се преобразува в линейно от втори ред.

Аналитично решение

$\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+g\sin \theta =0<=>\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+g\theta =0,\theta <20^{\circ }$

Полагаме $\theta =y$, от тук $\ell y^{″}+gy=0$ - хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред

Уравнението е от вида $a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0$, затова лесно могат да се намерят решения във вида $y=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}$, където за r се решава уравнението $a{r}^2+br+c=0$, a именно:

$\ell r^2+g=0$

$r=\pm j\sqrt{\frac{g}{l}}$

$y(t)=c_1{e}^{-j\sqrt{\frac{g}{l}}t}+c_2{e}^{j\sqrt{\frac{g}{l}}t}$

$e^{jx}=cos(x)+jsin(x)$ от тук =>

$\theta (t)=C_{1}cos(\sqrt{\frac{g}{l}}t)+C_{2}sin(\sqrt{\frac{g}{l}}t)$

За получаване на конкретно решение ще зададем начални условия. Примерно в началното положение $t=0$, махалото е отклонено на ${\theta }_0$ градуса и пуснато свободно, т.е. с нулева начална скорост.

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \begin{cases} \theta(0) = \theta_{0} = C_{1}cos(\sqrt{\frac{g}{l}} 0) + C_{2}sin(\sqrt{\frac{g}{l}} 0) \\ \theta(0)' = 0 = -C_{1}\sqrt{\frac{g}{l}}sin(\sqrt{\frac{g}{l}} 0) + C_{2}\sqrt{\frac{g}{l}}cos(\sqrt{\frac{g}{l}} 0) \end{cases} => \\ C_{1} = \theta , C_{2} = 0 }