Махало

Движение на махало под въздействие на гравитацията

Цел: Създаване на връзки между диференциране и диференциални уравнения.

Постановка: Математическо махало. (Съпротивлението на въздуха се пренебрегва). Да се намери зависимостта на махалото спрямо времето, т.е. функцията на движение на махалато.

Анализ: Във всеки момент махалото се движи с различна скорост и ускорение, зависещи от ъгъла на отклонение на махалото.

Производни, разстояние, скорост и ускорение.

Движението на махалото се извършва по окръжност с радиус равен на дължината на нишката, на която е окачено махалото. От тук, следва че:

$s=\ell \theta$

За да изразим скоростта ползваме първата производна (изменението на разстоянието за единица време). Изменя се само ъгълът, а дължината на нишката е константа и се запазва:

$v=\frac{ds}{dt}=\frac{d\ell \theta }{dt}=\ell \frac{d\theta }{dt}$

По да изразим ускорението, използваме втората производна

$a=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}$ (1)

Сили действащи на махалото

Под внимание се взема само силата действаща по посока на движението. Допирателната по окръжността на движение (тангенциалната сила ( танго -> допир)). Перпендикулярната сила (нормалната ) се неутрализира.

От II закон на Нютон $F=ma$

За махалото $F=gm\sin \theta =-ma=>a=-g\sin \theta$ (2)

Диференциално уравнение на махало

От (1) и (2) $=>-g\sin \theta =\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}<=>\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+g\sin \theta =0$

Решаване на диференциалното уравнение

Има два подхода при решаване на диференциални уравнения, аналитичен и числен. При конкретното уравнение са възможни и двата подхода, но аналитичният метод може да се използва за $\theta <20^{\circ }$. В този случай диференциалното уравнение ще се преобразува в линейно от втори ред.

Аналитично решение

$\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+g\sin \theta =0<=>\ell \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+g\theta =0,\theta <20^{\circ }$

Полагаме $\theta =y$, от тук $\ell y^{″}+gy=0$ - хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред

Уравнението е от вида $a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0$, затова лесно могат да се намерят решения във вида $y=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}$, където за r се решава уравнението $a{r}^2+br+c=0$, a именно:

$\ell r^2+g=0$

$r=\pm j\sqrt{\frac{g}{l}}$

$y(t)=c_1{e}^{-j\sqrt{\frac{g}{l}}t}+c_2{e}^{j\sqrt{\frac{g}{l}}t}$

$e^{jx}=cos(x)+jsin(x)$ от тук =>

$\theta (t)=C_{1}cos(\sqrt{\frac{g}{l}}t)+C_{2}sin(\sqrt{\frac{g}{l}}t)$

За получаване на конкретно решение ще зададем начални условия. Примерно в началното положение $t=0$, махалото е отклонено на ${\theta }_0$ градуса и пуснато свободно, т.е. с нулева начална скорост.

$\{\begin{array}{l}\theta (0)={\theta }_0=C_{1}cos(\sqrt{\frac{g}{l}}0)+C_{2}sin(\sqrt{\frac{g}{l}}0)\\ \theta (0{)}^{\prime }=0=-C_1\sqrt{\frac{g}{l}}sin(\sqrt{\frac{g}{l}}0)+C_2\sqrt{\frac{g}{l}}cos(\sqrt{\frac{g}{l}}0)\end{array}$ => $C_1={\theta }_0,C_2=0$

За решение на задача при малки ъгли се получава

$\theta (t)={\theta }_{0}cos(\sqrt{\frac{g}{l}}t)$

$\sqrt{\frac{g}{l}}=\sqrt{\frac{m}{s^2}*\frac{1}{m}}=\frac{1}{s}=\omega *\frac{rad}{s}$ e ъгловата скорост с която ще се движи махалото.

От тук $\theta (t)={\theta }_{0}cos(\omega t)$

Визуализация на решението с Matlab

Имаме следните начални условия:

• $l=5$
• ${\theta }_0=17^{\circ }$

l = 5; % m
g = 9.8; % m/s^2
theta_0 = 17; % degree
theta_0r = 17*pi/180 % ъгъл в радиани
omega = sqrt(g/l); % ъгловата скорост
t = 0:0.1:20; % интуитивно си избираме подходящ интервал за изследване
theta = theta_0r*cos(omega.*t); % Фундаментална формула, с който започва анализа на трептенията

% За тези с по-малко въображение и тези, които искат да представят резултатите на други
plot(t,theta); 
xlabel('t [s]'), ylabel('theta [rad]');
axis([ 0 20 -0.4 0.4]);
title('Matematichesko mahalo');
% Само трябва да добавим съпротивление на въздуха; вятър;
% маса на нишката, която държи махалото; трептене на опoрната точка и да решим за всякакви начални условия. 

Нито повече, нито по-малко от една синосоида

Аналитично решение с Matlab

Общо решение:

syms g l;
y = dsolve('D2y = -(g/l)*y', 't')

%решение
% yC15*exp((t*(-g*l)^(1/2))/l) + C16/exp((t*(-g*l)^(1/2))/l)

Частно решение с начални условия

% l=5, g=9.8, 0.3 = 17*pi*180
y = dsolve('D2y = -(9.8/5)*y','Dy(0)=0, y(0) =0.3','t') 

%решение
% y = (3*cos((7*t)/5))/10

Числено решаване с Matlab

... ...